Question

【題目】已知數列，若對任意的，，，存在正數使得，則稱數列具有守恒性質，其中最小的稱為數列的守恒數，記為.

（1）若數列是等差數列且公差為，前項和記為.

①證明：數列具有守恒性質，并求出其守恒數.

②數列是否具有守恒性質？并說明理由.

（2）若首項為1且公比不為1的正項等比數列具有守恒性質，且，求公比值的集合.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，.②數列不具有守恒性質.見解析（2）

【解析】

（1）①運用等差數列的通項公式和數列具有守恒性質可得結論；

②數列不具有守恒性質，運用等差數列的求和公式和不等式的性質可得結論；

（2）討論，，由等比數列的通項公式和不等式的性質，構造數列，運用單調性，即可得到所求范圍．

解：（1）①因為是等差數列且公差為，所以，

所以對任意，，

恒成立，

所以數列具有守恒性質，且守恒數.

②假設數列具有守恒性質，因為，所以存在實數，

.

若，則當時，，矛盾；

若，則當時，，矛盾.

所以數列不具有守恒性質.

（2）顯然且，因為，所以.

因為數列具有守恒性質，

所以對任意，，存在正數使得，

即存在正數，對任，都成立.

（i）若，等比數列遞增，不妨設，則，

即，

設，由式中的，任意性可知，數列不遞增，

所以對任意恒成立.

而當，，

所以不符題意.

（ii）若，則數列單調遞減，不妨設，則，

即，

設，由式中的，任意性可知，數列不遞減，

所以對任意恒成立，

所以對任意恒成立，

顯然，當，時，單調遞減，

所以當時，取得最大值，

所以.

又，故，即.

綜上所述，公比的取值集合為.