Question

設(shè)橢圓C與雙曲線D有共同的焦點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），并且橢圓的長軸長是雙曲線實(shí)軸的長的2倍，試求橢圓C與雙曲線D交點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線實(shí)半軸長a，則橢圓半長軸的長2a，由由雙曲線、橢圓的定義求出|PF₁|與|PF₂|的關(guān)系，從而建立軌跡方程，并化簡．

解答：解：∵橢圓C與雙曲線D有共同的焦點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），橢圓的長軸長是雙曲線實(shí)軸的長的2倍，
設(shè)雙曲線實(shí)半軸長a，a＞0，則橢圓半長軸的長2a，橢圓C與雙曲線D交點(diǎn)為點(diǎn)P，
則由雙曲線、橢圓的定義得；|PF₁|-|PF₂|=±2a，|PF₁|+|PF₂|=4a．
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，或|PF₁|=a，|PF₂|=3a，
∴

|PF1|

|PF2|

=3，或

|PF1|

|PF2|

=

1

3

，即：

(x+4)2+y2

(x-4)2+y2

=3 或

1

3

，
∴所求的軌跡方程是：（x-5）²+y²=9，或（x+5）²+y²=9．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線、橢圓的定義，軌跡方程的求法，屬于中檔題．