Question

已知函數．

(Ⅰ)若，試判斷在定義域內的單調性；

(Ⅱ) 當時，若在上有個零點，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 增函數； (Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為通過對 函數，求導以及可得導函數恒成立，所以可得函數在定義域內是單調遞增的.

(Ⅱ)由于代入即可得，對其求導數可得到，所以可知當時函數取到最小值，再根據左右兩邊分別是先減后增從要使在上有個零點必須使得最小值小于零.同時在的兩邊都有大于零的值，所以可得的范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）由可知，函數的定義域為

又，所以當時，

從而在定義域內恒成立。

所以，當時，函數在定義域內為增函數。

（Ⅱ）當時，

所以，由可得解得

由可得解得，所以在區間上為減函數

在區間上為增函數，所以函數在上有唯一的極小值點

也是函數的最小值點，所以函數的最小值為

要使函數在上有個零點，則只需，即

所以實數的取值范圍為

考點：1.函數的單調性.2.函數的最值.3.函數的求導.