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已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2+=1(a>b>0)的兩個焦點.
(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設(shè)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.

【答案】分析:(1)根據(jù)橢圓C2+=1寫出其焦點坐標,代入拋物線C1:x2+by=b2,求得b,c的方程,由a2=b2+c2,可求得橢圓C2的離心率;
(2)聯(lián)立拋物線C1的方程橢圓C2的方程,求出M,N的坐標,求出△QMN的重心坐標,代入拋物線C1,即可求得C1和C2的方程.
解答:解:(1)因為拋物線C1經(jīng)過橢圓C2的兩個焦點F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
所以c2+b×0=b2,即c2=b2,由a2=b2+c2=2c2
得橢圓C2的離心率
(2)由(1)可知a2=2b2,橢圓C2的方程為:

聯(lián)立拋物線C1的方程x2+by=b2得:2y2-by-b2=0,
解得:或y=b(舍去),所以,
,所以△QMN的重心坐標為(1,0).
因為重心在C1上,所以12+b×0=b2,得b=1.
所以a2=2.
所以拋物線C1的方程為:x2+y=1,
橢圓C2的方程為:
點評:此題是個中檔題,考查橢圓和拋物線的定義、基本量,通過交點三角形來確認方程.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M
(Ⅰ)求點M到拋物線C1的準線的距離;
(Ⅱ)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點),過點P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點,若過M,P兩點的直線l垂直于AB,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點.設(shè)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心(中線的交點)在拋物線C1上,
(1)求C1和C2的方程.
(2)有哪幾條直線與C1和C2都相切?(求出公切線方程)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C1x2=4y和圓C2x2+(y-1)2=1,直線l過C1焦點,從左到右依次交C1,C2于A,B,C,D四點,則
AB
CD
=
1
1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•臺州一模)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)上縱坐標為p的點到其焦點的距離為3.
(Ⅰ)求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)過點P(0,-2)的直線交拋物線C1于A,B兩點,設(shè)拋物線C1在點A,B處的切線交于點M,
(。┣簏cM的軌跡C2的方程;
(ⅱ)若點Q為(。┲星C2上的動點,當直線AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在時,試判斷
kPQ
kAQ
+
kPQ
kBQ
是否為常數(shù)?若是,求出這個常數(shù);若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C1:x2=2y的焦點為F,以F為圓心的圓C2交C1于A,B,交C1的準線于C,D,若四邊形ABCD是矩形,則圓C2的方程為(  )
A、x2+(y-
1
2
)2=3
B、x2+(y-
1
2
)2=4
C、x2+(y-1)2=12
D、x2+(y-1)2=16

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