Question

已知拋物線C1：x2=4y和圓C2：x2+(y-1)2=1，直線l過C₁焦點，從左到右依次交C₁，C₂于A，B，C，D四點，則

AB

•

CD

=

1

．

Answer 1

分析：設拋物線的焦點為F，則|AB|=y₁，|CD|=y₂，從而可得

AB

•

CD

=|AB||CD|=y₁y₂，設出直線方程，代入拋物線方程，利用韋達定理，即可得到結論．

解答：解：設拋物線的焦點為F，A的坐標為（x₁，y₁），D的坐標為（x₂，y₂）；
則|AB|=|AF|-|BF|=y₁+1-1=y₁，
同理|CD|=y₂，
∴

AB

•

CD

=|AB||CD|=y₁y₂，
設直線l的方程為y=kx+1，代入拋物線方程，可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=1
∴

AB

•

CD

=1
故答案為：1

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．