Question

關于x₁，x₂，x₃的齊次線性方程組

λx1+x2+λ2x3=0 x1+λx2+x3=0 x1+x2+λx3=0

的系數矩陣記為A，且該方程組存在非零解，若存在三階矩陣B≠O，使得AB=O，（O表示零矩陣，即所有元素均為0的矩陣；|B|表示行列式B的值，該行列式中元素與矩陣B完全相同）則…（　　）

A．λ=-2，且|B|=0

B．λ=-2，且|B|≠0

C．λ=1，且|B|=0

D．λ=1，且|B|≠0

Answer 1

分析：根據方程組有非零解，于是系數行列式

.

λ 1 λ2 1 λ 1 1 1 λ

.

=0，得出λ=1．寫出矩陣A，設矩陣B=

b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

，由AB得到零矩陣，作為選擇題，可選取特殊值計算，即可得出答案．

解答：解：方程組有非零解，于是系數行列式

.

λ 1 λ2 1 λ 1 1 1 λ

.

=0，
將該行列式展開可得到（λ-1）²=0，于是λ=1．
所以A=

1 1 1 1 1 1 1 1 1

，
設矩陣B=

b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

，由AB得到零矩陣，得知b₁₁+b₂₁+b₃₁=0，b₁₂+b₂₂+b₃₂=0，b₁₃+b₂₃+b₃₃=0．
由于只需考慮行列式B的值是否為0，即|B|=

.

b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

.

是否為零．
作為選擇題，可選取特殊值計算當第一列元素為零，第二列于第三列元素互為相反數時，|B|=0，B≠O（不妨選B=

0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1

），于是D不對，只能選C．
故選C．

點評：本小題主要考查線性方程組解的存在性，唯一性、行列式等基礎知識，考查運算求解能力，考查與轉化思想．屬于基礎題．