Question

已知函數f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）判斷并證明函數f（x）的單調性；
（2）是否存在實數a使函數f（x）為奇函數？若存在求出a的值，不存在請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數解析式，求出函數的導函數，根據導函數值大于0恒成立，可得函數是定義在R上的增函數
（2）根據奇函數的定義，我們令f（x）+f（-x）=0，由此構造關于a的方程，解方程可得a的值
（3）根據（2）中條件可得函數的解析式，進而可將不等式

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，轉化為m＞-4^x+2^x+1=-(2x-

1

2

)2+

5

4

恒成立，根據指數函數的性質及二次函數的性質及恒成立的實際意義，可得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）函數f(x)=a-

1

2x+1

是定義在R上增函數，理由如下：
∵f(x)=a-

1

2x+1

∴f′(x)=

2x+1+2x•ln2

(2x+1)

=

2x(1+ln2)+1

(2x+1)

＞0恒成立
∴函數f(x)=a-

1

2x+1

是定義在R上增函數．
（2）假設存在實數a使函數f（x）為奇函數
則f（0）=0
即a-

1

2

=0
解得a=

1

2

此時f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，f(-x)=

1

2

-

1

2-x+1

f（x）+f（-x）=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-1=0恒成立
故存在a=

1

2

使函數f（x）為奇函數
（3）由（2）得f(x)=

1

2

-

1

2x+1

由

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，得
2^x+1＜4^x+m，即m＞-4^x+2^x+1=-（2^x）²+2^x+1=-(2x-

1

2

)2+

5

4

恒成立
故m＞

5

4

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性和單調性，函數恒成立問題，其中熟練掌握函數奇偶性和單調性的定義及證明方法是解答的關鍵．