Question

某校調查了高三年級1000位同學的家庭月平均收入情況，得到家庭月平均收入頻率分布直方圖如圖．
（1）某企業準備給該校高三同學發放助學金，發放規定如下：家庭收入在4000元以下的每位同學得助學金2000元，家庭收入在（4000，6000]（元）間的每位同學得助學金1500元，家庭收入在（6000，8000]（元）間的每位同學得助學金1000元，家庭收入在（8000，10000]（元），間的同學不發助學金，記該年級某位同學所得助學金為ξ元，寫出ξ的分布列，并計算該企業發放這個年級的助學金約需要的資金；
（2）記該年級某班同桌兩位同學所得助學金之差的絕對值為η元，求P（η＞500）．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求：“計算該企業發放這個年級的助學金約需要的資金”，先列出ξ的分布列后求每一位同學所須資金的數學期望值，最后乘以1000即可；
（2）事件：“η＞500”可分解成三類討論，即：η=1000，或η=1500或η=2000，分別求出它們的概率，最后求和即可．
解答：解：（1）ξ的分布列是

Eξ=2000×0.3+1500×0.3+1000×0.2+0×0.2=1250（元）
所以需要資金約為：1250×1000=1250000（元）；（6分）

（2）P（η=1000）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2=0.2，（8分）
P（η=1500）=2×0.3×0.2=0.12，（9分）
P（η=2000）=2×0.3×0.2=0.12，（10分）
所以P（η＞500）=0.2+0.12+0.12=0.44．（12分）
點評：本題主要考查頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列，是一道離散型隨機變量及其分布列與頻率分布直方圖交匯的題目．