Question

已知m，n為正整數(shù)。
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx；
（2）對(duì)于n≥6，已知，求證：，m=1，2…，n；
（3）求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整數(shù)n。

Answer 1

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（i）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111117/20111117155315828923.gif">，
所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，
則當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
于是在不等式兩邊同乘以得，

所以
即當(dāng)時(shí)，不等式也成立
綜合（i）（ii）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立。
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得

于是，。
（3）解：由（2），當(dāng)時(shí)，
，
∴
即
即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n
故只需要討論的情形：
當(dāng)時(shí)，，等式不成立；
當(dāng)時(shí)，，等式成立；
當(dāng)時(shí)，，等式成立；
當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，
故，等式不成立；
當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立
綜上，所求的n只有。