Question

已知m，n為正整數，
（1）證明：當x＞-1時，（1+x）^m≥1+mx；
（2）對于n≥6，已知，求證，m=1，2，3，…，n；
（3）求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整數n。

Answer 1

解：（1）用數學歸納法證明：
（i）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊
因為
所以左邊右邊，原不等式成立；
（ii）假設當時，不等式成立，即，則當時
∵
∴
于是在不等式兩邊同乘以1+x得
所以
即當時，不等式也成立
綜合（i）（ii）知，對一切正整數m，不等式都成立；
（2）當時，由（1）得：（令易得）
于是，m=1，2，3，…，n；
（3）由（2）知，當時

∴
即
即當時，不存在滿足該等式的正整數n
故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形
當時，，等式不成立
當n=2時，，等式成立；
當n=3時，，等式成立；
當n=4時，為偶數，為奇數，故，等式不成立；
當n=5時，同的情形可分析出，等式不成立
綜上，所求的n只有2，3。