Question

過拋物線y²=2x內的任意一點Q（s，t）（t²＜2s）作兩條相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點分別為M，N，直線MN恒過定點（　　）

A．（s+1，0）

B．（|1-s|，0）

C．（1+2s，0）

D．（|1-2s|，0）

Answer 1

分析：本選擇題為了簡化計算，不妨取Q點是拋物線的焦點（

1

2

，0）．若要證直線MN必過定點P，只需求出含參數的直線MN的方程，觀察是否過定點即可．因此設出A、B、M、N的坐標，用A、B坐標表示M、N坐標，從而求出直線MN方程，即可得直線必過定點，從而得出正確選項．

解答：解：不妨取Q點是拋物線的焦點（

1

2

，0）．
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直線AB：y=k（x-

1

2

）代入y²=2x，得
k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，
∴x₃=

x1+x2

2

=

1

2

+

1

k2

，y₃=k（x₃-

1

2

）=

1

k

同理可得，x₄=

1

2

+k²，y₄=-k，
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直線MN為y-

1

k

=

k

1-k2

（x-

1

2

-

1

k2

），即y=

k

1-k2

（x-

3

2

），
結合直線方程的點斜式，可得直線恒過定點P（

3

2

，0），
對照Q點是拋物線的焦點（

1

2

，0），定點P可以寫成（

1

2

+1，0）．
故選A．

點評：本題給出拋物線互相垂直的弦AB、CD，求它們的中點確定的直線恒過定點．著重考查了直線與拋物線位置關系、直線過定點的判斷等知識，屬于中檔題．