Question

已知函數f（x）=3x²+bx+1是偶函數，g（x）=5x+c是奇函數，數列{a_n}滿足a_n＞0，且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若{a_n}的前

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）是偶函數判斷f（-x）=f（x），把函數解析式代入求得f（x）=3x²+1，根據g（x）是奇函數求得c，則g（x）的解析式可得．代入f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1中，整理得進而判斷出數列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列，進而求得數列的通項公式．
（2）利用等比數列的求和公式根據（1）中的通項公式求得前n項和的極限值．
解答：解：（1）∵f（x）=3x²+bx+1是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
即3（-x）²+b（-x）+1=3x²+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x²+1．
∵g（x）=5x+c是奇函數，
∴g（-x）=-g（x），即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．
f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1．
∴3a_n+1²+a_na_n+1-2a_n²=0．
∴
∴數列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列，
∴的通項公式為
（2）由（I）可求得
點評：本題主要考查了等比數列的通項公式和求和公式．考查了學生對數列基礎知識的掌握．