Question

已知函數f（x）=2cos2x+sin²x-4cosx．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函數值求出即可；
（Ⅱ）利用同角三角函數間的基本關系把sin²x變為1-cos²x，然后利用二倍角的余弦函數公式把cos2x變為2cos²x-1，得到f（x）是關于cosx的二次函數，利用配方法把f（x）變成二次函數的頂點式，根據cosx的值域，利用二次函數求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．
解答：解：（I）=；
（Ⅱ）f（x）=2（2cos²x-1）+（1-cos²x）-4cosx
=3cos²x-4cosx-1
=，
因為cosx∈[-1，1]，
所以當cosx=-1時，f（x）取最大值6；當時，取最小值-．
點評：考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及二倍角的余弦函數公式化間求值，此題以三角函數為平臺，考查二次函數求最值的方法．