Question

【題目】已知{an}是等差數列，其前n項和為Sn ， {bn}是等比數列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求數列{an}與{bn}的通項公式；
（2）記Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ， n∈N* ， 證明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，

由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，

由條件a4+b4=27，s4﹣b4=10，

得方程組 ，解得 ，

故an=3n﹣1，bn=2n，n∈N*．

（2）證明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①；

2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；

由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2

= +2n+2﹣6n+2

=10×2n﹣6n﹣10；

而﹣2an+10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；

故Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．

方法二：數學歸納法，

③當n=1時，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，

④假設當n=k時等式成立，即Tk+12=﹣2ak+10bk，

則當n=k+1時有，

Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1

=ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk）

=ak+1b1+qTk

=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12）

=2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24

=﹣2ak+1+10bk+1﹣12．

即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1時等式成立．

③④對任意的n∈N*，Tn+12=﹣2an+10bn成立．

【解析】（1）直接設出首項和公差，根據條件求出首項和公差，即可求出通項．（2）先寫出Tn的表達式；方法一：借助于錯位相減求和；
方法二：用數學歸納法證明其成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：或，以及對等比數列的通項公式（及其變式）的理解，了解通項公式：．