Question

用數學歸納法證明，對一切自然數n，xⁿ－na^n－1x+(n－1)aⁿ能被(x－a)²整除(a≠0)。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)當n=1時，x1－a1－1x+0=0，能被(x－a)2整除，∴n=1時，命題成立。 (2)設n=k時命題成立(k∈N) 即xk－kak－1x+(k－1)ak能被(x－a2)整除， 則當n=k+1時， xk+1－(k+1)akx+kak+1 =x[xk－kak－1+(k－1)ak]+kak－1x2－(k－1)akx－(k+1)akx+kak+1 =x[xk－kak－1+(k－1)ak]+kak－1x2－2kakx+kak+1=x[xk－kak－1x+(k－1)ak]+kak－1(x－a)2.     ∴n=k+1時命題也成立。  由(1)、(2)可知，對一切n∈N命題成立。