Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB＝3，BC＝4，分別交BB₁，CC₁于點P、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC－A₁B₁C₁，請在圖2中解決下列問題：

(1)求證：AB⊥PQ；

(2)在底邊AC上有一點M，滿足AM∶MC＝3∶4，求證：BM∥平面APQ．

(3)求直線BC與平面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)證明：因為，， 　　所以，從而， 　　即．2分 　　又因為，而， 　　所以平面，又平面 　　所以；4分 　　(2)解：過作交于，連接， 　　因為 　　　6分 　　，， 　　四邊形為平行四邊形 　　，所以平面　8分 　　(3)解：由圖1知，，分別以為軸， 　　則 　　　10分 　　設平面的法向量為， 　　所以得， 　　令，則， 　　所以直線與平面所成角的正弦值為　12分 　　(注)用其他解法可相應給分．