Question

如圖1所示，在邊長為的正方形中，，且，,分別交于點，將該正方形沿、折疊，使得與重合，構成如圖2所示的三棱柱中

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在底邊上有一點,,

求證：面

(III)求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略，（Ⅱ）略，（Ⅲ）直線與平面所成角的正弦值為

解析:

（Ⅰ）證明：因為，，

所以，從而，即．………………………2分

又因為，而，

所以平面,又平面

所以；………………4分

（Ⅱ）解：過作交于,連接,

因為……………6分

四邊形為平行四邊形

,所以平面…………………………8分

(III)解：由圖1知，,分別以為軸，

則

………10分

設平面的法向量為，

所以得，

令，則，

所以直線與平面所成角的正弦值為…………………………12分