Question

杭州市教育局開展支教活動，有五位高級教師被隨機分配到A，B，C三個所不同的學校，且每所學校至少分配一名教師．
（1）求甲、乙兩位教師同時分配到一個中學的概率；
（2）設隨機變量X為這五位教師分到A中學的人數，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件總數

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

，滿足條件的事件是甲乙兩位教師同時分到一個中學有C₃²A₃³+C₃¹A₃³種結果，根據概率公式得到結果．
（2）根據題意，得到變量的可能取值，結合變量對應的事件寫出變量的概率，根據變量和概率的值寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
設甲乙兩位教師同時分到一個中學為事件A，五位高級教師被隨機分配到A，B，C三個所不同的學校，且每所學校至少分配一名教師，先把五位高級教師分組2，2，1；或3，1，1．基本事件總數

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

=150，
因甲、乙兩位教師同時分配到一個中學，也分為兩類，一類是甲、乙兩位教師同時分配到一個中學，再分配另一位教師到這個中學，一類是甲、乙兩位教師同時分配到一個中學后不再分配其它老師到這個中學，滿足條件的事件數C₃²A₃³+C₃¹A₃³=36
∴P（A）=

36

150

=

6

25

（2）由題知X取值1，2，3．則
P（X=1）=（

C

1 5

C

2 4

C

3 2

+

C

3 4

A

2 2

）÷（

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

）=

7

15

，
P（X=2）=

2

5

，
P（X=3）=（

C

2 5

A

3 2

）÷（

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

）=

2

15

．
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	7 15	2 5	2 15

E（X）=1×

7

15

+2×

2

5

+3×

2

15

=

5

3

．…（14分）

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．