Question

已知函數．
（1）討論函數在上的單調性；
（2）當時，曲線上總存在相異兩點，，，使得曲線在、處的切線互相平行，求證：．

Answer 1

（1）討論函數的單調性，我們可先求其導數，則不等式的解集區間就是函數的單調增區間，不等式的解集區間就是函數的單調減區間；（2）題設問題實際上就是已知
時，由（1）知化簡變形得，要證明的是，利用基本不等式，這樣有，故小于的最小值，而在上是增函數（可用導數或用增函數的定義證明），于是有，從而，解得．

解析試題分析：
（1）函數的定義域為．
，
令，解得或．
∵，∴， ∴當時，；當時，．
故在上單調遞減，在上單調遞增．    6分
（2）由題意得，當時，且)
即     ∴．
 整理得
令 所以在上單調遞減，所以在上的最大值為        12分
考點：（1）導數與函數的單調性；（2）導數與切線斜率，基本不等式與函數的最值．