Question

某種特色水果每年的上市時間從4月1號開始僅能持續5個月的時間．上市初期價格呈現上漲態勢，中期價格開始下跌，后期價格在原有價格基礎之上繼續下跌．現有三種價格變化的模擬函數可選擇：①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+7；③f（x）=log_q（x+p）．其中p，q均為常數且q＞1．（注：x表示上市時間，f（x）表示價格，記x=0表示4月1號，x=1表示5月1號，…，以此類推，x∈[0，5]）
（Ⅰ）在上述三個價格模擬函數中，哪一個更能體現該種水果的價格變化態勢，請你選擇，并簡要說明理由；
（Ⅱ）對（I）中所選的函數f（x），若f（2）=11，f（3）=10，記g（x）=

f(x)-2x-13

x+1

，經過多年的統計發現，當函數g（x）取得最大值時，拓展外銷市場的效果最為明顯，請預測明年拓展外銷市場的時間是幾月1號？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲找出能較準確體現該種水果的價格變化態勢的模擬函數，主要依據是該種水果價格變化趨勢，故可從三個函數的單調上考慮；
（Ⅱ）由題中條件：f（2）=11，f（3）=10得方程組，求出p，q即可，從而得到g（x）的解析式即可求出x取何值時函數g（x）取得最大值，得到所求．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，該種水果價格變化趨勢是先單調遞增后一直單調遞減，基本符合開口向下的二次函數的變化趨勢，故應該選擇②f（x）=px²+qx+7；
（Ⅱ）∵f（2）=11，f（3）=10，
∴

4p+2q+7=11 9p+3q+7=10

，
解得：

p=-1 q=4

，
∴f（x）=-x²+4x+7，
則g（x）=

f(x)-2x-13

x+1

=

-x2+2x-6

x+1

，
∴g（x）=-[

9

x+1

+（x+1）-4]≤-（2

9

-4）=-2，當且僅當x+1=3即x=2時等號成立，
∴預測明年拓展外銷市場的時間是6月1號．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．