Question

設雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有共同的焦點，且與橢圓相交，在第一象限的交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：橢圓

x2

27

+

y2

36

=1，故有焦點為F₁（0，-3），F₂（0，3），由此設出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個交點的縱坐標為4，求出此點的橫坐標，將此點的坐標代入方程，求出參數即得雙曲線方程即可

解答：解：設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由已知橢圓的兩個焦點F₁（0，-3），F₂（0，3），
又雙曲線與橢圓交點A的縱坐標為4，∴A(

15

，4)，

42 a2 - ( 15 )2 b2 =1 a2+b2=9

，
解得

a2=4 b2=5

，
故雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是兩者共同的特征設出雙曲線的標準方程，解題時要善于抓住問題的關鍵點．