Question

（2013•徐州模擬）設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓

x2

2

+y²=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程是

2x²-2y²=1

．

Answer 1

分析：欲求雙曲線方程，只需求出雙曲線中的a，b的值即可，根據(jù)雙曲線與橢圓

x2

2

+y²=1有公共的焦點(diǎn)，求出橢圓中的c值，也即雙曲線中的c值，再求出橢圓中的離心率，因?yàn)闄E圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以可得雙曲線中離心率，據(jù)此求出a值，再利用a，b，c之間的關(guān)系式，就可得到雙曲線的方程．

解答：解：橢圓

x2

2

+y²=1中c=1
∵中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓

x2

2

+y²=1有公共的焦點(diǎn)
∴雙曲線中c=1，
∵橢圓

x2

2

+y²=1的離心率為

c

a

=

2

2

，橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
∴雙曲線的離心率為

2

，
∴雙曲線中a=

2

2

，b²=c²-a²=

1

2

，b=

2

2

∴雙曲線的方程為2x²-2y²=1
故答案為2x²-2y²=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)的應(yīng)用．