Question

（2006•豐臺(tái)區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），滿(mǎn)足向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線(xiàn)，且點(diǎn)列{B_n}在斜率為6的直線(xiàn)上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）試用a₁，b₁與n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）設(shè)a₁=a，b₁=-a，在a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)，試求實(shí)數(shù) a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)辄c(diǎn)列{B_n}在斜率為6的直線(xiàn)上，利用斜率公式即可得數(shù)列{b_n}的遞推公式，進(jìn)而由等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（II）由已知向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線(xiàn)，知直線(xiàn)A_nA_n+1與直線(xiàn)B_nC_n的斜率相等，利用斜率公式即可得數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，最后利用累加法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得；
（III）將數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式用a表示，發(fā)現(xiàn)其函數(shù)模型為二次函數(shù)，在a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)，則確定了對(duì)稱(chēng)軸的范圍，從而解得a的范圍

解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)列{B_n}在斜率為6的直線(xiàn)上，有 

bn+1-bn

(n+1)-n

=6⇒bn+1-bn=6
故數(shù)列{b_n}是公差為6的等差數(shù)列．                        
（Ⅱ）由向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線(xiàn)，得直線(xiàn)A_nA_n+1與直線(xiàn)B_nC_n的斜率相等
即kAnAn+1=kBnCn，
∴

an+1-an

(n+1)-n

=

bn-0

n-(n-1)

=bn
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1

=

a1+b1(n-1)+ (n-1)(n-2) 2 ×6

∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
設(shè)二次函數(shù)f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是開(kāi)口方向向上的拋物線(xiàn)
又∵在a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)，則對(duì)稱(chēng)軸為x=

a+9

6

在區(qū)間[

11

2

，

15

2

]內(nèi)，
即

11

2

≤

a+9

6

≤

15

2

∴24≤a≤36

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)