Question

已知，其中是無理數，且，

（1）當時, 求的單調區間、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由

Answer 1

(1) 的的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，e）；的極小值為

(3)

解析:

（1）當時， ， 1分

∴當時，，此時單調遞減

當時，，此時單調遞增   …………………………………3分

的的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，e）；

的極小值為       ………………………………………………4分

（2）由（1）知在上的最小值為1，  ……………………………………5分

令 ，  

，  ………………………6分

當時，，在上單調遞增 …………………………………7分

∴ w

∴在（1）的條件下，  …………………………………………………8分

(1)假設存在實數，使（）有最小值，

     ……………………………………………………9分

①當時，

，

在上單調遞增，此時無最小值. …10分

②當時，

若，故在上單調遞減，

若，故在上單調遞增.

，得，滿足條件.  ……………………………12分

③當時，

，在上單調遞減，

（舍去），

所以，此時無最小值. ……13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             

綜上，存在實數，使得當時的最小值是……………………14分

（3）法二：假設存在實數，使的最小值是，

故原問題等價于：不等式對 恒成立，求“等號”取得時實數a的值.

即不等式對 恒成立，求“等號”取得時實數a的值.

設  即  ，    ………………10分

又      ……………………………11分

令

當，，則在單調遞增；

當，，則在單調遞減.  ……………………13分

故當時，取得最大值，其值是 .

故 

綜上，存在實數，使得當時的最小值是.……………………14分