Question

（本小題滿分12分）

已知，其中是無理數，且， ．

（1）若時， 求的單調區間、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當_時， ， 

∴當時，，此時單調遞減 ，當時，，此時單調遞增 

 的的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，e）；的極小值為．

（2）_{由（1）知}在上的最小值為1， 

令 ，   ，

當時，，在上單調遞增 

∴  ∴在（1）的條件下，  

（3）假設存在實數，使（）有最小值，   

當時，， 在上單調遞增，此時無最小值．

當時，

若，故在上單調遞減，

若，故在上單調遞增．

，得，滿足條件．

當時，

，在上單調遞減，

（舍去），所以，此時無最小值．

綜上，存在實數，使得當時的最小值是．

（3）法二：假設存在實數，使的最小值是，

故原問題等價于：不等式對 恒成立，求“等號”取得時實數A的值．

即不等式對 恒成立，求“等號”取得時實數A的值．

設  _即  ，   

又   

令

當，，則在單調遞增；

當，，則在單調遞減 ，

故當時，取得最大值，其值是

故 ．

綜上，存在實數，使得當時的最小值是．