Question

設點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的任意一點，F₁、F₂分別是其左、右焦點，離心率為e，若|

PF1

|=

1

e

•|

PF2

|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出P點坐標，由雙曲線的第二定義得到|

PF1

|=-a-ex0，|

PF2

|=a-ex0，代入|

PF1

|=

1

e

•|

PF2

|后整理，結合P點橫坐標的范圍得答案．

解答： 解：如圖，

設P（x₀，y₀），
由雙曲線的第二定義可得：

| PF1 |

- a2 c -x0

=

| PF2 |

a2 c -x0

=e，
則|

PF1

|=-a-ex0，|

PF2

|=a-ex0，
代入|

PF1

|=

1

e

•|

PF2

|，得-a-ex0=

1

e

(a-ex0)，
即x0=

-ae-a

e2-e

，
由x0=

-ae-a

e2-e

≤-a，得e²-2e-1≤0，
解得：1-

2

≤e≤1+

2

，
由e＞1，
∴1＜e≤1+

2

．
故答案為（1，1+

2

]．

點評：本題考查了雙曲線的第二定義，考查了雙曲線的幾何性質，是中檔題．