Question

設一次函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱的圖象為C，且f（-1）=0．若點（n+1，

an+1

an

）（n∈N^*）在曲線C上，并且a₁=a₂=1．
（1）求曲線C的方程；?
（2）求數列{a_n}的通項公式；?
（3）設S_n=

a1

2!

+

a2

3!

+…+

an

(n+1)!

，求S_n．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax+b（a≠0），可求C的方程，然后由f（-1）=0及（2，

a2

a1

）在曲線C上，可求a，b
（2）由點（n+1，

an+1

an

）在曲線C上可得，

an+1

an

=n，從而利用疊乘可求a_n，
（3）由sn=

0!

2!

+

1!

3!

+…+

(n-1)!

(n+1)!

，化簡后可以利用裂項可求數列的和

解答：解：（1）設f（x）=ax+b（a≠0），則C的方程為y=

1

a

(x-b)
由f（-1）=0可得-a+b=0①
由（2，

a2

a1

）在曲線C上可得，1=

1

a

(2-b)
①②聯立可得，a=b=1
曲線C的方程為y=x-1
（2）由點（n+1，

an+1

an

）在曲線C上可得，

an+1

an

=n
∴

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

=(n-1)!
即

an

a1

=(n-1)!
∵a₁=1
∴a_n=（n-1）!
（3）sn=

0!

2!

+

1!

3!

+…+

(n-1)!

(n+1)!

=

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

(n+1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題主要考查了互為反函數的求解，數列的疊乘法求解數列的通項及裂項求和方法的應用