Question

【題目】已知函數，若曲線在點處的切線方程是，不等式的解集為非空集合，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）求的解析式，并用表示；

（Ⅱ）若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據不等式的解集可知相應方程的根，利用根與系數的關系求解即可.

（Ⅱ）不等式恒成立轉化為，令，根據其導數，分類討論其最小值，即可求出實數的取值范圍.

（Ⅰ）因為，

所以，∴，

∴，

因為，所以和為方程的兩根，

所以.

（Ⅱ），

因為，

由非空集合得，

令，

則，

又令，

則，

∴在上單調遞增，且，

①當時，恒成立，

即函數在上單調遞增，

則，

②當時，則，使且時，，即，即單調遞減，

時，，即，即單調遞增.

∴，∴只須滿足，

又，

從而，解得，

由，

令，

則，∴在上單調遞減，

則，

又，

故，

綜上.