Question

11．已知圓C的圓心在坐標原點，且過點M（$\sqrt{3}$，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P是圓C上的動點，試求點P到直線$\sqrt{3}$x+y-6=0的距離的最小值；
（Ⅲ）若直線L與圓C相切，且L與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，求△ABC的面積最小時直線L的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P是圓C上的動點，求出圓心到直線l的距離，即可求點P到直線$\sqrt{3}$x+y-6=0的距離的最小值；
（Ⅲ）利用C點到直線l的距離等于圓的半徑2，求出b，k的關系，表示出三角形的面積，利用基本不等式，即可求△ABC的面積最小時直線L的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓C的半徑為$|CM|=\sqrt{1+3}=2$，…（1分）
所以圓C的方程為x²+y²=4…（2分）
（Ⅱ）圓心到直線l的距離為$d=\frac{|-6|}{{\sqrt{3+1}}}=3$，…（4分）
所以P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值為1  …（6分）
（Ⅲ）設直線l的方程為：y=kx+b，因為l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，
則k＜0，b＞0，且$A（-\frac{b}{k}\;，\;0）\;，\;\;B（0\;，\;b）$，…（7分）
又l與圓C相切，則C點到直線l的距離等于圓的半徑2，
即：$\frac{|b|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2⇒{b^2}=4{k^2}+4$，①，…（8分）
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}（-\frac{b}{k}）b=\frac{{-{b^2}}}{2k}$②…（9分）
將①代入②得${S_{△ABC}}=\frac{{-（4{k^2}+4）}}{2k}=2（-k+\frac{1}{-k}）≥4\sqrt{（-k）•\frac{1}{-k}}=4$，當且僅當k=-1時取等號，所以當k=-1時，△ABC的面積最小，此時${b^2}=4{k^2}+4=8，\;\;\;\;b=2\sqrt{2}$，…（11分）
直線l的方程為：$y=-x+2\sqrt{2}$…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．