Question

設a，b，m為正整數，若a和b除以m的余數相同，則稱a和b對m同余．記作a≡b（bmodm），已知a=C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰，b≡a（mod10），則b的值可以是（ ）
A．2007
B．2008
C．2009
D．2010

Answer 1

【答案】分析：觀察題中式子：a=C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰，先由二項式定理得：1+C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰，得到C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰-1，即C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰9（mod10），而2009≡9（mod10），從而得出b的值．
解答：解：由二項式定理得：
∵1+C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰，
∴C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰-1，
即C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰除以10的余數為：9．
而2009≡9（mod10），
則b的值可以是2009．
故選C．
點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．