Question

f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域；
（2）作出y=f（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖；
（3）說明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變化得到？

Answer 1

分析：先根據兩角和與差公式對函數進行化簡整理得f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（1）將2x+

π

6

看作整體，求出取值范圍，再根據正弦函數的性質求得函數的值域．
（2）令2x+

π

6

=0，

π

2

 ， π，

3π

2

， 2π，求出x及對應的y值，描點連線．
（3）先進行左移

π

6

個單位，再各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
∵x∈[0，

π

2

]∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴所求值域為[-1，2]
（2）列表

描點連線

（3）可由y=sinx的圖象先向左平移

π

6

個單位，再將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變而得到．

點評：本題考查兩角和與差公式、正弦函數的圖象、性質、三角函數圖象變換，考查轉化、計算等能力．