Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A=

π

6

，c=

3

，b=1．
（Ⅰ）求a的長及B的大小；
（Ⅱ）若0＜x≤B，求函數f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，得到a與b相等，根據等邊對等角得到A與B相等，進而得到B的度數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的B的度數，得到x的范圍，把所求函數解析式的第1項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第2，3項提取

3

后，利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡為一個角的正弦函數，由x的范圍，得出這個角的范圍，根據角度的范圍求出正弦函數的值域即可得到f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=4-2

3

cos

π

6

=1，
∴a=b=1，∴B=A=

π

6

；
（Ⅱ）因為f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
由（Ⅰ）知：0＜x≤

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

≤

2π

3

，∴

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴函數f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域為[

3

2

，1]．

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角和的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．