Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列滿足。

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)；

（Ⅱ）若，且，求和；

（Ⅲ）比較的大小，并予以證明。

 

Answer 1

【答案】

 

解析：（Ⅰ）

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，…………2分

       故

       因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304234539064511/SYS201205230425079687305021_DA.files/image006.png">

       所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為……4分

   （Ⅱ）將代入可求得

      

       所以…………5分[

       ①

       ②…………7分[來(lái)

       由①-②得

      

       …………9分

   （Ⅲ）

       于是確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與的大小

       由1，

       可猜想當(dāng)時(shí)，…………11分

       證明如下：

       證法1：（1）當(dāng)時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立，

       （2）假設(shè)時(shí)成立，即

       則時(shí)

       所以當(dāng)時(shí)猜想也成立

       綜合可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有…………12分

       證法2：當(dāng)時(shí)

       12分

       綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，……14

 

【解析】略