Question

已知點(diǎn)E（-2，0），F(xiàn)（2，0），曲線C上的動點(diǎn)M滿足

ME

•

MF

=-3，定點(diǎn)A（2，1），由曲線C外一點(diǎn)P（a，b）向曲線C引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求線段PA的最小值；
（Ⅱ）若以P為圓心所作的⊙P與曲線C有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)⊙P的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式化簡，可得曲線C的方程；求出P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出線段PQ長，利用配方法可求PQ的最小值；
（Ⅱ）根據(jù)P為圓心所作的圓P與曲線C有公共點(diǎn)，確定半徑的范圍，利用配方法，即可求半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則

EM

=（x+2，y），

FM

=（x-2，y），
∴

EM

•

FM

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²-4+y²=-3，
即M點(diǎn)軌跡（曲線C）方程為 x²+y²=1，
即曲線C是以原點(diǎn)為圓心的單位圓．
連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有：PQ²=OP²-OQ²．
又由已知PQ=PA，
故PQ²=PA²．
即：a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，
化簡得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0，即b=-2a+3．
∴PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，PQ取得最小值為

2 5

5

 即線段PQ長的最小值為

2 5

5

．
（Ⅱ）設(shè)圓P的半徑為R，則
∵圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，
即R≥|OP|-1且R≤|OP|+1．
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，|OP|_min=

3 5

5

．
此時(shí)b=-2a+3=

3

5

，R_min=

3 5

5

-1．
∴半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-

6

5

 )2+(y-

3

5

 )2=(

3 5

5

 -1)2．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．