Question

曲線C是中心在原點，焦點為的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點E（2，0），若直線l與曲線C交于不同于點E的P，R兩點，且，求證：直線l過一個定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設曲線C的方程為，由題意可得，a=2b，a²+b²=5，從而可求a，b，進而可求曲線C的方程
（2）設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，由，，由方程的根與系數關系及=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，代入可求得k，m之間的關系則直線l由直線方程的點斜式可求直線所過的定點；當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂，y₁=-y₂，，由，代入可求
解答：解：（1）設曲線C的方程為
∵一條漸近線方程是，c=
∴a=2b，a²+b²=c²=5
∴a=2，b=1
故所求曲線C的方程是…（5分）
（2）設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
①當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m
由，
此時1-4k²≠0
∴…（7分）
由
=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
（1+k²）•+（km-2）•+m²+4=0
整理有…（10分）
當m=-2k時，直線L過點E，不合題意
當m=-，則直線l的方程為
則直線l過定點（）…（12分）
②當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由，
有
從而有．此時直線L過點
故直線l過定點…（15分）
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，向量的坐標表示的應用，屬于直線與曲線位置關系的綜合應用，屬于綜合性試題．