Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，若二面角C-AB-C₁的大小為60°，則異面直線A₁B₁和BC₁所成角的余弦值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  7

  7

• D、

  13

  13

Answer 1

分析：取AB的中點(diǎn)D，連接CD，C₁D，利用AB∥A₁B₁，將異面直線A₁B₁和BC₁所成角轉(zhuǎn)化為異面直線AB和BC₁所成角，在△ABC₁中解決．

解答：解：如圖取AB的中點(diǎn)D，連接CD，C₁D，則有CD⊥AB，C₁D⊥AB，∴∠C₁DC=60°，CD=

3

，CC1=CDtan60°=3，AC1=BC1=

32+22

=

13

．在△ABC₁中，cos∠ABC₁=

AB2+B C 2 1 -A C 2 1

2AB•BC1

=

13

13

，∵AB∥A₁B₁，因此∠ABC₁是直線A₁B₁與BC₁所成的角或補(bǔ)角，
因此直線A₁B₁與BC₁所成的角的余弦值是

13

13

故選D．

點(diǎn)評：本題考查正三棱柱的性質(zhì)、二面角的意義及異面直線所成的角．解決的關(guān)鍵是將空間角化為平面角，在三角形當(dāng)中去解決．