Question

如圖，正三棱錐的底面邊長為，側棱長為，為棱的中點．

（1）求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）求該三棱錐的體積．

Answer 1

(1)；（2）．

試題分析：（1）求異面直線所成的角，一般是按照定義作出這個角，即作平行線，把空間角化為平面角，通過解三角形來處理，而作平行線，一般都是過異面直線中一條上的某點作一條的平行線，如本題中有是的中點，我們只要取中點，則就有∥，（或其補角）就是所求；（2）要求棱錐體積，就要求出底面積（本題底面是正三角形，面積易求）和高，正棱錐中我們知道棱錐的高，側棱，側棱在底面上的射影構成一個直角三角形，可在這個直角三角形中求出正棱錐的高．
試題解析：（1）取中點，連結、，因為∥，所以就是異面直線與所成的角（或其補角）．                     （2分）
在△中，，，              （1分）
所以．                     （2分）
所以，異面直線與所成的角的大小為．        （1分）
（2）作平面，則是正△的中心，          （1分）
連結，，                        （1分）
所以，                    （1分）
所以，．             （2分）