Question

設是一常數，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程.

Y

 

y2=2px

B

 

 

 

 

X

Q(2p,0)

O

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由題意，直線AB不能是水平線，  故可設直線方程為：. 　　  又設，則其坐標滿足 　　  消去x得  　　  由此得   　　  　　  因此. 　　  故O必在圓H的圓周上. 　　  又由題意圓心H（）是AB的中點，故 　　  　　  由前已證，OH應是圓H的半徑，且. 　　  從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小. 　　  此時，直線AB的方程為：x=2p. 　　  解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：ky=x－2p 　　  又設，則其坐標滿足 　　  分別消去x，y得 　　  故得A、B所在圓的方程 　　  明顯地，O（0，0）滿足上面方程所表示的圓上， 　　  又知A、B中點H的坐標為 　　  故 　　  而前面圓的方程可表示為 　　  故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）. 　　  又， 　　  故當k=0時，R2最小，從而圓的面積最小，此時直線AB的方程為：x=2p. 　　  解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上 　　  又直徑|AB|= 　　  上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小. 　　  此時直線AB的方程為x=2p.