Question

設p＞0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y²=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）．試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程．

Answer 1

分析：先設出A，B的坐標，把直線與拋物線方程聯立消去x，根據韋達定理可分別求得y₁+y₂和y₁y₂及x₁+x₂和x₁x₂的從而求得

OA

•

OB

的值，結果為0，可推斷出OA⊥OB，進而可知O必在圓H的圓周上，又根據H是AB的中點，進而可表示出圓心的坐標，求得|OH|的表達式，進而根據二次函數的性質求得|OH|即圓的半徑的最小值，即進而可知當a=0時，圓的面積最小．

解答：解：由題意，設直線AB的方程為ay=x-2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則其坐標滿足

ay=x-2 y2=2px

消去x的y²-2apy-4p²=0，
則

x1+x2=(4+2a2)p x1•x2=4p2

因此

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0
∴OA⊥OB，故O必在圓H的圓周上，
又由題意圓心H是AB的中點，故

xH=(2+a2)p yH=ap

，
由前已證OH應是圓H的半徑，且|OH|=

a4+5a2+4

p；
從而當a=0時，圓H的半徑最小，也使圓H的面積最小．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了考生運用所學知識解決實際問題的能力．