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已知函數奇函數f(x)=lg
1-ax1+x
.求:
(1)求實數a的值; 
(2)求函數f(x)的定義域; 
(3)解不等式f(x)>0.
分析:(1)利用函數是奇函數,建立方程f(-x)=-f(x),即可求實數a的值; 
(2)根據對數函數的性質,求函數f(x)的定義域; 
(3)利用對數函數的單調性解對數不等式即可.
解答:解:(1)∵函數f(x)是奇函數,∴f(-x)=-f(x),
即f(-x)+f(x)=0,∴lg?
1+ax
1-x
?
1-ax
1+x
=0
,即
1-a2x2
1-x2
=1
,
∴1-a2x2=1-x2,解得a=±1,
當a=-1時,f(x)=lg1=0,結合題意,不合適.
故a=1.
(2)∵a=1,∴f(x)=lg
1-x
1+x
,要使函數有意義,
1-x
1+x
>0
,即(1+x)(1-x)<0,解得-1<x<1,
即函數的定義域為(-1,1).
(3)∵f(x)>0,∴lg
1-x
1+x
>0,即
1-x
1+x
>1,
∵-1<x<1,∴0<x+1<2,
即不等式等價為1-x>1+x,即x<0,
∴此時-1<x<0.
∴不等式的解集為(-1,0).
點評:本題主要考查函數的奇偶性的應用,以及對數函數的圖象和性質,要求熟練掌握對數函數的相關性質.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:山東省濟寧市汶上一中2012屆高三11月月考數學文科試題 題型:013

已知函數f(x)=2cos(2x+),下面四個結論中正確的是

[  ]

A.函數f(x)的最小正周期為2π

B.函數f(x)的圖象關于直線x=對稱

C.函數f(x)的圖象是由y=2cos2x的圖象向左平移個單位得到

D.函數f(x+)是奇函數

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數f(x)=數學公式是定義在R上的奇函數,其值域為[-數學公式].
(1)試求a、b的值;
(2)函數y=g(x)(x∈R)滿足:①當x∈[0,3)時,g(x)=f(x);②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
①求函數g(x)在x∈[3,9)上的解析式;
②若函數g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是閉區間,試探求m的取值范圍,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(理)已知函數f(x)=xlnx.

(1)求函數f(x)的單調區間和最小值;

(2)當b>0時,求證:bb(其中e=2.718 28…是自然對數的底數);

(3)若a>0,b>0,證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且mn,把其中x,y所滿足的關系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導函數,F(x)=f(x)+af′(x)(a>0),且F(x)是R上的奇函數.

(1)求和c的值.

(2)求函數f(x)的單調遞減區間(用字母a表示).

(3)當a=2時,設0<t<4且t≠2,曲線y=f(x)在點A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.

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科目:高中數學 來源:2011年江蘇省鹽城市高考數學二模試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數f(x)=是定義在R上的奇函數,其值域為[-].
(1)試求a、b的值;
(2)函數y=g(x)(x∈R)滿足:①當x∈[0,3)時,g(x)=f(x);②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
①求函數g(x)在x∈[3,9)上的解析式;
②若函數g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是閉區間,試探求m的取值范圍,并說明理由.

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