Question

已知函數f（x）=是定義在R上的奇函數，其值域為[-]．
（1）試求a、b的值；
（2）函數y=g（x）（x∈R）滿足：①當x∈[0，3）時，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函數g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函數g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區間，試探求m的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由函數f（x）定義域為R，∴b＞0．
又f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，得a=0．
因為y=f（x）=的定義域為R，所以方程yx²-x+by=0在R上有解．
當y≠0時，由△≥0，得-≤y≤，
而f（x）的值域為，所以=，解得b=4；
當y=0時，得x=0，可知b=4符合題意．所以b=4．
（2）①因為當x∈[0，3）時，g（x）=f（x）=，
所以當x∈[3，6）時，g（x）=g（x-3）lnm=；
當x∈[6，9）時，g（x）=g（x-6）（lnm）²=，
故
②因為當x∈[0，3）時，g（x）=在x=2處取得最大值為，在x=0處取得最小值為0，
所以當3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）時，g（x）=分別在x=3n+2和x=3n處取得最值為與0．
（ⅰ） 當|lnm|＞1時，g（6n+2）=的值趨向無窮大，從而g（x）的值域不為閉區間；
（ⅱ） 當lnm=1時，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3為周期的函數，從而g（x）的值域為閉區間；
（ⅲ） 當lnm=-1時，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6為周期的函數，
且當x∈[3，6）時g（x）=值域為，從而g（x）的值域為閉區間；
（ⅳ） 當0＜lnm＜1時，由g（3n+2）=＜，得g（x）的值域為閉區間；
（ⅴ） 當-1＜lnm＜0時，由≤g（3n+2）=＜，從而g（x）的值域為閉區間．
綜上知，當m∈∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0時，g（x）的值域為閉區間．
分析：（1）由于 函數f（x）=是定義在實數集R上的奇函數，則f（-x）=-f（x），構造方程，可求a與b值；
（2）由題意以及①當x∈[0，3）時，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．得到；
對參數lnm分類討論，再依據函數g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區間，即可得到m的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性，函數的值域，解題的關鍵是熟練掌握函數奇偶性的性質，以及分類討論求出參數的取值范圍．