Question

已知數列中，，前和
（Ⅰ）求證：數列是等差數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，．

試題分析：（Ⅰ）對條件式進行變形，得到遞推關系得證；（Ⅱ）由條件求出首項和公差即得；（Ⅲ）利用裂項相消法求出，再考察的上確界，可得的最小值.
試題解析：（Ⅰ）因為，所以，
所以，
整理，得，所以，
所以，
所以，所以，
所以，數列為等差數列。
（Ⅱ），，所以，即為公差，
所以；
（Ⅲ）因為，
所以，
所以對時，，且當時，，所以要使對一切正整數都成立，只要，所以存在實數使得對一切正整數都成立，的最小值為.