Question

【題目】已知函數f（x）=aln（x+2）﹣x2在（0，1）內任取兩個實數p，q，且p＞q，若不等式 恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，24]
B.（﹣∞，12]
C.[12，+∞）
D.[24，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根據題意，由 ，變形可得得f（p+1）﹣f（q+1）＞2（p﹣q）， 則f（p+1）﹣2（p+1）＞f（q+1）﹣2（q+1），
令g（x）=f（x）﹣2x，則有g（p+1）＞r（q+1）
又由實數p、q∈（0，1），且p＞q，
所以函數g（x）=f（x）﹣2x在（1，2）上單調遞增，
從而 在x∈（1，2）上恒成立
即a≥[（x+2）（2x+2）]，亦即a≥[（x+2）（2x+2）]max
又函數y=（x+2）（2x+2）=2（x2+3x+2）在x∈[1，2]上單調遞增
所以[（x+2）（2x+2）]max=24，
所以a≥24；
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．