Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點，若ABCD是平行四邊形．

（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN與PA所成的角為30°．求MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取PD的中點E，連接EN、EA，

∵M，N分別是AB，PC的中點，ABCD是平行四邊形，

∴EN AM，∴四邊形ENMA為平行四邊形

∴MN∥AE，

∵MN平面PAD，AE平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）

解：∵E是PD中點，PA=AD=2a，

∴AE是∠PAD的平分線，

∵MN與PA所成的角為30°，MN∥AE，∴∠PAE=30°，

∴△PAD是等邊三角形，

∴MN=PE= = a．

【解析】（1）取PD的中點E，連接EN、EA，推導出四邊形ENMA為平行四邊形，從而MN∥AE，由此能證明MN∥平面PAD．（2）推導出△PAD是等邊三角形，MN=PE，由此能求出結果．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．