Question

如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側面都是正方形，D為底邊AB中點，E為側棱CC₁中點，AB₁與A₁B交于點O。
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；    
（Ⅱ）求證：平面AB₁C⊥平面A₁EB。

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵ 棱柱的每個側面為正方形， 
∴，
∴三棱柱為正三棱柱，      
連結OD，
∵D為AB中點，O為對面線AB₁，A₁B交點，
∴OD∥BB₁，    
又E為CC₁中點，
∴EC∥BB₁，
OD∥EC，
∴DCEO為平行四邊形，CD∥EO，
又CD平面A₁EB，EO平面A₁EB， 
∴CD∥平面A₁EB。
（Ⅱ）∵AB=AC=CB，    
∴CD⊥AB，
又直棱柱側面ABB₁A₁⊥底面ABC，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD⊥AB₁，
由（Ⅰ）CD∥EO，
∴EO⊥AB₁，
又正方形中，A₁B⊥AB₁，
EO∩A₁B=O，EO、A₁B平面A₁EB，
∴AB₁⊥平面A₁EB，            
又AB₁平面AB₁C，
∴平面A₁EB⊥平面AB₁C。