Question

x₁與x₂分別是實系數方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0．求證：方程

a

2

x²+bx+c=0有一個根介于x₁和x₂之間．

Answer 1

分析：先由x₁與x₂分別是實系數方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個根，得到關于x₁與x₂的兩個等式，再設f（x）=

a

2

x²+bx+c，利用條件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可說明方程

a

2

x²+bx+c=0有一個根介于x₁和x₂之間．

解答：證明：由于x₁與x₂分別是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c=0 -ax22+bx2+c=0

設f（x）=

a

2

x²+bx+c，
則f（x₁）=

a

2

x₁²+bx₁+c=-

a

2

x₁²，
f（x₂）=

a

2

x₂²+bx₂+c=

3a

2

x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-

3

4

a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程

a

2

x²+bx+c=0有一個根介于x₁和x₂之間．

點評：本題考查一元二次方程根的分布問題．在解題過程中用到了零點存在性定理，若想說函數在某個區間上有零點，只要區間兩端點值異號即可．