Question

【題目】如圖，已知為橢圓： 的右焦點， ， ， 為橢圓的下、上、右三個頂點， 與的面積之比為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）試探究在橢圓上是否存在不同于點， 的一點滿足下列條件：點在軸上的投影為， 的中點為，直線交直線于點， 的中點為，且的面積為.若不存在，請說明理由；若存在，求出點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) .(2)存在滿足條件的點，其坐標為.

【解析】試題分析：

（1）由與的面積之比為可得，又，所以，從而，可得橢圓的標準方程。（2）假設存在滿足條件的點（），進而， 。可得直線的方程為，進一步可得，根據，可得，從而得到。又點到直線的距離為，由，可得，從而。因此存在點P滿足條件。

試題解析：

（1）由已知得.

又，

∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為.

（2）假設存在滿足條件的點P，設其坐標為（），

則，且.

又，

∴直線的方程為.

∵，∴，

令，得.

又，則，

∴.

直線的方程為，即，

∴點到直線的距離為，

∴，

解得，

又，

∴，

∴存在滿足條件的點，其坐標為.