Question

某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發生側翻,導致濃硫酸泄漏,對河水造成了污染.為減少對環境的影響，環保部門迅速反應,及時向污染河道投入固體堿，個單位的固體堿在水中逐漸溶化,水中的堿濃度與時間(小時)的關系可近似地表示為：,只有當污染河道水中堿的濃度不低于時,才能對污染產生有效的抑制作用.
(Ⅰ) 如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長？
(Ⅱ) 第一次投放1單位固體堿后,當污染河道水中的堿濃度減少到時,馬上再投放1個單位的固體堿,設第二次投放后水中堿濃度為,求的函數式及水中堿濃度的最大值.（此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

Answer 1

（1）3     (2)

試題分析：(Ⅰ) 由題意知或       2分
解得或，即           3分
能夠維持有效的抑制作用的時間：小時.        4分
(Ⅱ) 由⑴知，時第二次投入1單位固體堿，顯然的定義域為…5分
當時，第一次投放1單位固體堿還有殘留,故
=+=;          6分
當時，第一次投放1單位固體堿已無殘留,故
當時，  =;     7分
當時，  ;            8分
所以            9分
當時，
==;
當且僅當時取“=”,即（函數值與自變量值各1分）…10分
當時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，
當時， ，所以為增函數;
當時，為減函數;故 =，     ……11分
又,所以當時，水中堿濃度的最大值為.                    ……12分
答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；第一次投放小時后, 水中堿濃度的達到最大值為.             ……13分
點評：主要是考查了函數的解析式以及性質的運用，屬中檔題。