Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+

π

6

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上的一個點為M(

2π

3

，-2)．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

4

]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得其周期T，繼而可知ω，再將點M的坐標代入，即可求得A，從而可得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）x∈[0，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]⇒f（x）∈[1，2]．

解答：解：（Ⅰ）依題意，

1

2

T=

π

2

，ω＞0，
∴T=

2π

ω

=π，ω=2；
∴f（x）=Asin（2x+

π

6

），
∵M（

2π

3

，-2）在曲線f（x）=Asin（2x+

π

6

）上，
∴-2=Asin（2×

2π

3

+

π

6

）=-A，
∴A=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，即f（x）∈[1，2]．
∴函數f（x）的值域為[1，2]．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．