Question

設△A_nB_nC_n的三邊長分別為a_n，b_n，c_n，△A_nB_nC_n的面積為S_n，n=1，2，3…若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，bn+1=

cn+an

2

，cn+1=

bn+an

2

，則（　　）

A．{S_n}為遞減數列

B．{S_n}為遞增數列

C．{S_2n-1}為遞增數列，{S_2n}為遞減數列

D．{S_2n-1}為遞減數列，{S_2n}為遞增數列

Answer 1

分析：由a_n+1=a_n可知△A_nB_nC_n的邊B_nC_n為定值a₁，由b_n+1+c_n+1-2a₁=

1

2

(bn+cn-2a1)及b₁+c₁=2a₁得b_n+c_n=2a₁，則在△A_nB_nC_n中邊長B_nC_n=a₁為定值，另兩邊A_nC_n、A_nB_n的長度之和b_n+c_n=2a₁為定值，
由此可知頂點A_n在以B_n、C_n為焦點的橢圓上，根據b_n+1-c_n+1=-

1

2

(bn-cn)，得b_n-c_n=(-

1

2

)n-1(b1-c1)，可知n→+∞時b_n→c_n，據此可判斷△A_nB_nC_n的邊B_nC_n的高h_n隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．

解答：解：因為a_n+1=a_n，bn+1=

cn+an

2

，cn+1=

bn+an

2

，所以a_n=a₁，
所以b_n+1+c_n+1=a_n+

bn+cn

2

=a₁+

bn+cn

2

，
所以b_n+1+c_n+1-2a₁=

1

2

(bn+cn-2a1)，
又b₁+c₁=2a₁，所以b_n+c_n=2a₁，
于是，在△A_nB_nC_n中，邊長B_nC_n=a₁為定值，另兩邊A_nC_n、A_nB_n的長度之和b_n+c_n=2a₁為定值，
因為b_n+1-c_n+1=

cn+an

2

-

bn+an

2

=-

1

2

(bn-cn)，
所以b_n-c_n=(-

1

2

)n-1(b1-c1)，
當n→+∞時，有b_n-c_n→0，即b_n→c_n，
于是△A_nB_nC_n的邊B_nC_n的高h_n隨著n的增大而增大，
所以其面積Sn=

1

2

|BnCn|•hn=

1

2

a1hn為遞增數列，
故選B．

點評：本題考查數列、解三角形、橢圓等知識，綜合考查學生分析解決問題的能力，有較高的思維抽象度，是本年度全國高考試題中的“亮點”之一．